Russell’ın Mantık Çalışmaları

Russell’ın Russell paradoksunu keşfi (Russell-Zermelo paradoksu olarak da bilinir.), tipler kuramını geliştirmesi, matematiğin temel mantığa indirgenebileceğini savunan mantıkçılık görüşünü desteklemesi, etkileyici genel mantıksal ilişkiler kuramı, niceliğin ve gerçek sayıların matematiğini biçimlendirmesi, birinci derece mantığı geliştirmesi onun matematiğin temellerine ve mantığa başlıca katkıları arasındadır.
Russell kendi adını taşıyan paradoksu 1901’de Matematiğin İlkeleri (1903) üzerinde çalışırken keşfetti. Paradoks kendi kendisinin elemanı olmayan tüm kümeler kümesiyle bağlantılı olarak ortaya çıkar. Böyle bir küme, eğer varsa, yalnız ve yalnız kendi kendisinin elemanı değilse kendi kendisinin elemanı olacaktır. Matematiğin İlkeleri’nin 1901 tarihli taslağında Russell sorunu şöyle açıklıyor:
Belirli bir ilişkiye ilişkin olarak bütün göndergelerin bir sınıf oluşturduğu fakat birtakım sınırlamalar gerektirdiği ve belirtilen sebepten kaynaklandığı görülüyor. Bazı önerme fonksiyonlarının kendilerini doğrulayabildiğini gördük. Şimdi bunları düşünün… ki konumuz bu değil. Hepsine ve başka şartlara bağlı olmayan hiçbir önerme fonksiyonu yoktur. Çünkü bu önerme fonksiyonu doğrulanabilir olmayacak ya da kendini doğrulamayacaktır. Kendini doğrulaması durumunda, kendisi, ilişkili olarak tanımlandığı göndergelerden birisi demektir, böylece tanımı gereği kendini doğrulamaz. Tersine, eğer kendini doğrulamıyorsa o zaman yine söz konusu göndergelerden biridir ki tüm bu göndermeler hipotezle doğrulanabilir yine böylece kendi kendini doğrulamış olur. Bu bir çelişkidir. (CP, Vol. 3, 195)
Paradoks, klasik mantık kullanarak tüm cümleleri bir çelişki tarafından gerektirdiği için önemlidir. Böylece Russell’ın keşfi, mantık, kümeler kuramı, felsefe ve matematiğin temelleri üzerine pek çok çalışmanın fitilini ateşledi.
Russell’ın paradoksa cevabı 1903 ve 1908 yılları arasında “tipler kuramı”nın gelişimiyle geldi. Russell’a göre saf kümeler kuramının bir kümeyi belirlemek için uygun herhangi bir koşulun ya da varlığın kullanabileceğini biçimlendiren özgün anlama yahut soyutlama aksiyomuna bir sınırlama getirilmesi gerektiği açıktı. Russell’ın temel fikrine göre Russell kümeleri (kendi kendisinin elemanı olmayan tüm kümeler kümesi) gibi kümelere atıfta bulunulmasından, tüm cümleleri bir hiyerarşiye yerleştirerek kaçınılabilirdi. Bu hiyerarşiye en düşük düzeydeki bireyler hakkındaki cümlelerden başlanarak sonra bir sonraki en düşük düzeydeki bireyler hakkındaki cümleler vb. şeklinde devam edilir. Matematikçi Henri Poincaré tarafından benimsenen yönteme benzer bir kısır döngü ilkesini ve kendi geliştirdiği kümelerin kümesizliği kuramını (bu kuramda küme terimleri yalnızca uygun bağlama yerleştirildiklerinde anlam kazanırlar) kullanarak sınırsız kavrama aksiyomunun neden başarılı olmadığını açıklayabildi Russell: “X bir kümedir.” gibi önerme fonksiyonları kendilerine uygulanmayabilirdi çünkü kişisel uygulamalara kısır döngü de dahildi. Sonuç olarak belirli bir koşulun yahut önerme fonksiyonunun dayandığı tüm nesnelerin aynı seviyede yahut aynı “tipte” olması gerekir. Bu nesnelerle ilgili cümleler, her zaman hiyerarşide nesnelerin kendisinden daha yüksek olacaktır.
Tipler kuramı ilk kez 1903’te tanıtılmış olmasına rağmen Russell tarafından 1908 tarihli “Tipler Kuramına Dayalı Matematiksel Mantık” makalesinde ve Alfred North Whitehead ile birlikte yazdığı üç ciltlik çalışması Principia Mathematica (1910, 1912, 1913)’da daha da geliştirilmiştir (1912, 1913). Kuram böylece iki versiyonu kabul eder: 1903 yılındaki “basit kuram” ve 1908 yılındaki “dallanma kuramı”. Basit kuram çok zayıf olduğundan, dallanma kuramı da çok güçlü olduğundan kuramın her iki versiyonu da saldırıya uğradı. Bazıları için, önerilen herhangi bir çözümün tüm bilinen paradoksları bir kerede çözmek için yeterince kapsamlı olması önemliydi. Diğerleri için, önerilen herhangi bir çözümün, kısır döngü ilkesini ihlal etseler de, klasik matematiğin tutarlılığını koruyan kısımlarına izin vermemesi önemliydi. İlgili paradoksların tartışması için bkz. “Chapter 2 of the Introduction to Whitehead and Russell” ve bu ansiklopedide paradoxes and contemporary logic maddeleri.

Russell, 1903 gibi erken bir tarihte bu sorunların birçoğunu kabul etmiş ve herhangi bir çözümün bilinen tüm paradoksları çözmesinin mümkün olmadığına dikkat çekmişti.
Whitehead ile birlikte, kısır döngü prensibinin uygulama kapsamını azaltan ve böylece tipler kuramının en endişe verici yönlerini çözen yeni bir aksiyom olan indirgenebilir aksiyomu da sunabiliyordu. Yine de, eleştirmenler, aksiyomun felsefi olarak gerekçelendirilemeyecek kadar geçici olduğunu iddia etti. Daha fazla tartışma için bkz. Linsky (1990), Linsky (2002) ve Wahl (2011).
Bu dönemde Russell’ın mantık savunmasıyla eşit önemdeki şey matematiğin mantığa göre önemli bir anlam taşıdığı kuramıydı. İlk olarak 1901 tarihli “Matematik İlkeleri Üzerine Yeni Çalışmalar” başlıklı makalesinde ve daha sonra Matematiğin İlkeleri ve Principia Mathematica’da daha ayrıntılı olarak savunulan Russell’ın mantığı iki temel tezden oluşuyordu. Birincisi, tüm matematiksel gerçeklerin mantıksal gerçeklere çevrilebileceğidir, başka bir deyişle, matematik sözcüklerinin mantık kelime dağarcığının uygun bir alt kümesini oluşturduğudur. İkincisi, tüm matematiksel kanıtların mantıksal kanıtlar olarak yeniden yorumlanması, diğer bir deyişle, matematik teoremlerinin mantık teoremlerinin uygun bir alt kümesini oluşturmasıdır. Russell’ın özetlediği gibi, “Tüm matematiğin sembolik mantık olduğu gerçeği, çağımızın en büyük keşiflerinden biridir; ve bu gerçek yerleştiğinde matematiğin prensiplerinin geri kalanı, sembolik mantığın kendi analizinden oluşur.”(1903, 5)

Gottlob Frege gibi, Russell’ın, mantıkçılığı savunmak için temel fikri, sayıların küme kümeleri ile tanımlanabilmesi ve sayı kuramsal ifadelerin nicelik ve kimlik açısından açıklanabilmesiydi. Dolayısıyla, 1 sayısı, tüm birim sınıflarının sınıfı ile , 2 sayısı tüm iki üyeli sınıfların sınıfıyla tanımlanacaktır ve bu böyle devam eder. “En az iki kitap var.” gibi ifadeler; “X adında bir kitap var.”, ve “Y adında bir kitap var.” ve X ile Y özdeş değil şeklinde biçimlendirilir. “Tam olarak iki kitap var.” gibi ifadeler ise şöyle der: “X adında bir kitap var, Y adında da bir kitap var ve X, Y ile özdeş değil ve eğer Z adında bir kitap varsa, o zaman Z; X veya Y ile özdeştir.” Bu daha sonra kesişim, bileşim, fark gibi sayı kuramsal işlemler açısından açıklanabilir sayı kuramsal işlemleri takip eder. Principia Mathematica’da, Whitehead ve Russell, kümeler kuramının sonlu ve sonsuz aritmetiğin ana teoremlerini ve temel ölçüm teorisinin birçok ayrıntılı türevini sunabilmişlerdir. Ayrıca, karmaşık mantıksal ilişkiler kuramı ve gerçek sayıları kurmanın benzersiz bir yöntemini geliştirebildiler. Fakat öyle olsa bile, kümeler kuramının başarılı bir şekilde mantığa indirgenip indirgenmediği tartışmalıdır. Geometri üzerine dördüncü cildin yazılması planlandı fakat hiçbir zaman tamamlanmadı.

Russell’ın bu konularla ilgili en önemli yazıları sadece “Matematik İlkeleri”ni (1903), “Türlerin Teorisine Dayalı Matematik Mantığı”nı (1908) ve “Principia Mathematica”yı (1910, 1912, 1913) değil, aynı zamanda daha önceki “Geometrinin Temelleri Üzerine Deneme” (1897) ve “Matematiksel Felsefeye Giriş”i (1919a) de içermektedir. Russell, Matematiksel Felsefeye Giriş’i savaş karşıtı eylemlerinin sonucu olarak Brixton Hapishanesi’nde hizmet ederken yazmıştır.

Tesadüfen Russell’ın en ünlü öğrencisi olan Ludwig Wittgenstein’ın, I. Dünya Savaşı sırasında İtalya’daki Monte Cassino’da bir savaş esiri olarak gözaltında tutulurken Tractatus Logico-Philosophicus (1921)’u tamamlaması da yaklaşık olarak aynı zamanda gerçekleşti.

Russell’ın yazılarının teknik özelliklerinde bulunan sembolizmi deşifre etmek için yardıma ihtiyaç duyan herkes bu ansiklopedide Notation in Principia Mathematica maddesine başvurmalıdır.

Çeviren: Hande Nur Kişniş

kaynakça: https://plato.stanford.edu/entries/russell/#RWL

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir